Définition

Soit une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\), on appel série (ou somme partielle) la suite \(S_n\) tel que
\[ \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^n u_k \]
Si (et seulement si) \(S_n\) admet une limite finie, on note \(\sum_{k=0}^{+\infty} u_k\) la somme de la série. On dit alors que la série est convergente. Sinon, elle est divergente.

Si la série est a terme dans \(\mathbb{C}\), il faut que sa partie réelle ET sa partie complexe converge pour que la série converge.

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Pour que \(S_n\) soit convergente, il faut que \(u_n\) tende vers 0. Cette condition est nécessaire mais non suffisante !

Soit \(S_n\) une suite convergente, on appel reste d'ordre n la série \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k\). On as alors \(\lim_{n \to +\infty} R_n = 0\).
On a aussi que les séries convergentes sont stables par combinaisons linéaires.

Série a termes positifs

On appel série a termes positifs une série dont tous les termes sont positifs.
Une tel série est obligatoirement croissante. Ainsi, elle converge seulement si celle ci est majorée.

Théorème de comparaison

Soient deux suites \(u_n\) et \(v_n\) tel que
\[ \exists k_0, \forall k \ge k_0, u_k \ge v_k \]
Alors :

• \(\sum u_k\) converge \(\Rightarrow\) \(\sum v_k\) converge
• \(\sum v_k\) diverge \(\Rightarrow\) \(\sum u_k\) diverge

Théorème des équivalents

Soient \(u_n\) et \(v_n\) deux suites tel que \(u_n \sim v_n\) [^1] alors elles ont la même convergence.

Théorème de comparaisons suites / intégrales

Si il existe une fonction \(f\) tel que \(Im(f) \subset \mathbb{R}^+\) et \(f\) décroissante sur \(\mathbb{R}\),
alors :
\[ \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} f(k) \quad converge \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{n} f(x)dx \quad converge \]

Règles de Reimann

• si \(a > 1\), et \(\lim_{k \to +\infty} k^a u_k = 0\) alors \(\sum u_k\) converge
• si \(a \in [0, 1]\) et \(\lim_{k \to +\infty} k^a u_k = +\infty\) alors \(\sum u_k\) diverge

Les différents types de séries

Il existes différentes séries remarquables.
1. Les Série de Reimann
2. Les Séries géométriques de la forme \(\sum q^k\)

Les séries géométriques convergent si, et seulement si, la raison \(q\) est tel que \(|q| < 1\) On a alors :
\[ \sum q^k = {1 \over1-q} \]

Règle de d'Alembert

Tout comme la règle de Reimann est une extension des Série de Reimann, la règle de d'Alembert est une extension des règles des séries géométriques. On a alors :
avec \(l = \lim_{n\to +\infty}{u_{n+1} \over u_n}\),

• si \(l < 1\) , \(S\) converge
• si \(l > 1\), \(S\) diverge
• si \(l = 1\), on ne peut pas déduire

[^1]: voir équivalence